User:WikiSysop/Sección Áurea

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Contents

[edit] Principales teóricos de la sección áurea

Pythagoras, Plato,

  • Euclides: Define el número y como calcularlo geométricamente.
  • Fibonacci: Descubre como aproximarse matemáticamente.
  • Villard de Honnecourt
  • Luca Pacioli: Le atribuye divinidad y lo acuña como número de oro.
  • Michael Maestlin, Johannes Kepler, Charles Bonnet, Martin Ohm, Edouard Lucas, Gustav Fechner, Mark Barr, Matyla Ghyka‎, Roger Penrose, Roy Howat.

[edit] Obras teóricas

[edit] List of sources

Here is a list of recomended sources to be used in the related articles.

[edit] Writings of the historic researchers

  • PINGALA, Chandah-shāstra, the Art of Prosody. 450 or 200 BC.
  • FIBONACCI
    • Liber Abaci. 1202.
      The sequence was first studied by Leonardo of Pisa, known as Fibonacci, this book. He considers the growth of an idealised (biologically unrealistic) rabbit population, assuming that: a)in the first month there is just one newly-born pair, b) new-born pairs become fertile from after their second month, c)each month every fertile pair begets a new pair, and c)the rabbits never die.
    • Practica Geometriae (1220), a compendium on geometry and trigonometry.
    • Flos (1225), solutions to problems posed by Johannes of Palermo
    • Liber quadratorum, ("The Book of Squares") on Diophantine equations, devoted to Emperor Frederick II. See in particular Fibonacci's identity.
    • Di minor guisa (on commercial arithmetic; lost)
    • Commentary on Book X of Euclid's Elements (lost)
  • PACIOLI, Luca. De divina proportione. Venice, 1509.
    The architectural treaty that guided the reinassanse artists.
  • KEPLER, Johannes A New Year Gift: On Hexagonal Snow. Oxford University Press, 92. ISBN 0198581203. Strena seu de Nive Sexangula (1611)
  • GHYKA, Matyla
    • Esthétique des Proportions. 1927.
    • Le nombre d'or. 1931.
    • The Geometry of Art and Life. 1946
    • A Handbook of Practical Geometry. 1952.
  • LE CORBUSIER
    • The Modulor. 1948.
      The book in which Le Corbusier proposes a system that uses units derivated from the human body and the golden ratio.
    • The Modulor 2. 1955

[edit] Scientific journals, courses and publications

  • KNOTT, Ron. Fibonacci's Rabbits. University of Surrey School of Electronics and Physical Sciences.
  • KNUTH, Donald. The Art of Computer Programming.
    A comprehensive monograph written by Donald Knuth that covers many kinds of programming algorithms and their analysis
  • CHANFÓN OLMOS, Carlos. Curso sobre Proporción. Procedimientos reguladors en construcción. Convenio de intercambio UNAM - UADY. México - Mérica, 1991
    This study features a series of proportional analysis of diverse geometrical figures, organisms and works of architecture and art.

[edit] Other publications

  • VAJDA, Steven. Fibonacci and Lucas Numbers, and the Golden Section: Theory and Applications. Dover Books on Mathematics. December 26, 2007

[edit] Internet sites

From scientific or academic organizations
Amateur

[edit] Sección áurea en el universo

  • Define la dinámica de los agujeros negros. Pasa de caliente a frio cuando el cuadrado de su masa, dividido entre el cuadrado de la velocidad con que rota es igual a phi.
  • La estructura microscópica de algunos cristales


[edit] Organismos estudiados por sus proporciones áureas

The nautilus, the human body proportion, the reproduction of rabbits (Fibonacci started boservating the rabbits), the reproduction of cows (Henry E. Dudeney), the number of petals in flowers, the sunflower spirals, the pine cones, species of Radiolaria (shaped like polyhedra) and viruses (such as the herpes virus, have the shape of a regular icosahedron).

La dispocisión de las ramificaciones de los arboles y flores. En los puntos de un tallo en que se insertan hojas y ramas.

  • Cuernos de carneros.
  • Colmillos de elefantes.
  • El vuelo de los halcones, para asegurar un mismo ángulo de visión mientras se aproxima a la presa.

[edit] Obras con seccion aurea no comprobada como intensional

  • Las instrucciones del Arca de Noé en el Génesis 6:15 (el texto mas antiguo de la historia data del siglo XVII a. C.): En el texto Dios le indica a Nóe construir el arca 300 u de largo, 50 u de ancho y 30 de alto. Este plano inscribe la sección frontal del arca en un rectángulo con proporciones 5:3, que tiene un número fibonaceo de 0.666. [2] [3] Three and five are the second and third numbers in the Fibonacci series in which the limit coeficient (as numbers go higher) is 0.618... or phi.
    No existe evidencia real de la existencia del arca, de modo que aún es considerada un mito. Pero siendo el primer escrito de XVII a. C., y tomando en cuenta que las primeras comunidades sedentarias de la zona palestina y del mundo datan de alrededor del 9000 a. C., la construccion del arca pudo haberse dado en cualquier punto. De acuerdo con la teoría Ryan-Pitman, una de las inundaciones mas grandes de la historia se cree que sucedió alrededor de 5600 a. C. Por otro lado, entre 1630 y 1600 a. C, sucedió un tzunami histórico causado por la erupcion del Thera. [4]</blockquote>
  • El Arca de la Alianza (Construida alrededor de 1050 AC, después de que la gente de Israel deja Egipto, durante el reino de Ramses; se perdió cuando los babilonis destruyeron Jerusalem): Tiene proporciones similares al Arca de Noe, (que es proporcionalmente como diez Arcas de la Alianza juntas), de acuerdo al Éxodo, Dios instruyó a Moisés hacerla 1.5 de alto y dos de ancho (cerca de 130 cm x 78 cm x 78 cm, si fueron codos reales Egipcios). 2.5 x 1.5 es 5:3, como la sección del arca de Noé.
  • Venus de Milo: Es una escultura antigua y una de las obras griegas más famosas. Se cree que representa a Afrodita (llamada Venus por los romanos), la diosa griega del amor y la belleza. Fue esculpida en mármol y está ligeramente fuera de escala, con una altura de 203 cm. [citation needed]
  • Sinfonía No. 5 en C menor, Op. 67 (c. 1804–08): En Mathematics Teaching, Volume 84, p. 56-57 (1978), Derek Haylock [5] clama que el motto de apertura de la pieza de Ludwig van Beethoven, ocurre exactamente al punto 0.618 en la barra 372 de 601, y de nuevo en la 228 que es el otro punto de sección áurea (0.618034 de el final de la pieza), pero utiliza 601 barras para optener estas figuras. Esto lo hace ignorando las veinte barras finales que ocurren despues de la aparicion final del motto, asi como la barra 387.
    In Modern Russian Composers[6], a book by Leonid Sabaneev shows that the separate time intervals of the musical pieces connected by the "culmination event", as a rule, are in the ratio of the golden section and that the greatest musical pieces based on the golden section meets in the works of Beethoven (97%), Gaidn (97%), Arensky (95 %), Shopen (92%), Schubert (91%) and Mozart (91%). However the author atriutes this incidence to the instinct of the mucisians: "All such events are timed by author's instinct to such points of the whole length that they divide temporary durations into separate parts being in the ratio of the golden section."

[edit] Obras concebidas intensionalmente con sección áurea

[edit] Artistas que usaron sección aurea en su producción

Hemon, Iktinos and Kallikrates, Phidias, Leonardo da Vinci, Michaelangelo, Diego de Velázquez, Georges-Pierre Seurat, Mario Palanti, Mies van der Rohe, Le Corbusier, Salvador Dali, Mondrian, Mario Botta, Andrew Rogers, James Tenney, James Tenney, Brian Transeau, Pearl Drums

[edit] Greece

The Acropolis (468–430 BC): Some studies of the Acropolis, including the Parthenon, conclude that many of its proportions approximate the golden ratio.[7] The settlement is calculated to have been started in 6000 BC, but the works designed with golden proportions were created from 468 BC to 430 BC.

    • Parthenon (447 - 432 BC): a temple built for the Greek goddess Athena who was known as the godess of wisdom in the 5th century BC on the Acropolis of Athens. It is the most important surviving building of Classical Greece. Its facade as well as elements of its facade and elsewhere can be circumscribed by golden rectangles.[7]
    • The Porch of the Caryatids (built between 421 and 407 BC): On the south side of the Erechtheum, there is the famous "Porch of the Maidens", with six draped female figures (caryatids) as supporting columns, each sculpted by Phidias in a manner different from the rest and engineered in such a way that their slenderest part, the neck, is capable of supporting the weight of the porch roof whilst remaining graceful and feminine. [citation needed]
    • Phidias' sculptures.[citation needed]


[edit] Gothic era

[edit] Renaissance

Image:Divina proportione.png
Leonardo Da Vinci's illustration from De Divina Proportione applies the golden ratio to the human face.

[edit] The baroque and the Spanish empire

Image:Cristo Velázquez lou2.jpg
Cristo Crucificado de Diego Velazquez (1639)

[edit] Romanticism

[edit] Impressionism

Image:The Roses of Heliogabalus 1.65.jpg
The canvas of Lawrence Alma-Tadema's The Roses of Heliogabalus (1888), 213 cm by 132 cm, is a near-perfect golden rectangle.

[edit] Neogothic

[edit] Surrealism

[edit] Piet Mondrian

Mondrian: used the golden section extensively in his geometrical paintings. The related worcs were produced circa 1919 – 1938.[13]

[edit] Mies Van der Rohe

[edit] Le Corbusier

The Swiss architect Le Corbusier, famous for his contributions to the modern international style, centered his design philosophy on systems of harmony and proportion. Le Corbusier's faith in the mathematical order of the universe was closely bound to the golden ratio and the Fibonacci series, which he described as "rhythms apparent to the eye and clear in their relations with one another. And these rhythms are at the very root of human activities. They resound in man by an organic inevitability, the same fine inevitability which causes the tracing out of the Golden Section by children, old men, savages and the learned."[15]

  • Modulor: Le Corbusier explicitly used the golden ratio in his system for the scale of architectural proportion. He saw this system as a continuation of the long tradition of Vitruvius, Leonardo da Vinci's "Vitruvian Man", the work of Leon Battista Alberti, and others who used the proportions of the human body to improve the appearance and function of architecture. In addition to the golden ratio, Le Corbusier based the system on human measurements, Fibonacci numbers, and the double unit. He took Leonardo's suggestion of the golden ratio in human proportions to an extreme: he sectioned his model human body's height at the navel with the two sections in golden ratio, then subdivided those sections in golden ratio at the knees and throat; he used these golden ratio proportions in the Modulor system.[16]
  • Villa Stein (1927, Garches) It exemplifies the Modulor system's application. The villa's rectangular ground plan, elevation, and inner structure closely approximate golden rectangles.[16]

[edit] Mario Botta

Another Swiss architect, Mario Botta, bases many of his designs on geometric figures. Several private houses he designed in Switzerland are composed of squares and circles, cubes and cylinders. In a house he designed in Origlio, the golden ratio is the proportion between the central section and the side sections of the house.[17]

[edit] Andrew Rogers

Image:Golden Ratio.jpg
The Golden Ratio sculpture by Andrew Rogers in Jerusalem.

Australian sculptor Andrew Rogers's 50-ton stone and gold sculpture entitled Golden Ratio, installed outdoors in Jerusalem. The height of each stack of stones, beginning from either end and moving toward the center, is the beginning of the Fibonacci sequence: 1, 1, 2, 3, 5, 8.[citation needed]

[edit] Notes

  1. ↑ 1.0 1.1 Lidwell, William; Holden, Kritina; and Butler, Jill. Universal Principles of Design. Rockport Publishers. October 1, 2003
  2. ↑ Noah's Ark, 24,000 deadweight tons, C & AH, Volume XIV, Part 1, January 1992.
  3. ↑ Fasold, David. The Ark of Noah Wynwood Press, New York, NY, 1988.
  4. ↑ Castleden, Rodney (2001) "Atlantis Destroyed" (Routledge)
  5. ↑ HEYLOCK, Derek. Mathematics Teaching, Volume 84, p. 56-57. 1978
  6. ↑ SABANEEV, Leonid and JOFFE Judah A. . Modern Russian Composers. 1927.
  7. ↑ 7.0 7.1 Van Mersbergen, Audrey M., "Rhetorical Prototypes in Architecture: Measuring the Acropolis", Philosophical Polemic Communication Quarterly, Vol. 46, 1998.
  8. ↑ 8.0 8.1 8.2 8.3 8.4 CHAFLÓN OLMOS, Carlos. Curso sobre Proporción. Procedimientos reguladors en construcción. Convenio de intercambio UNAM - UADY. México - Mérica, 1991
  9. ↑ Pacioli, Luca. De divina proportione. Venice, 1509.
  10. ↑ 10.0 10.1 Official turism page of the city of Buenos Aires
  11. ↑ Hunt, Carla Herndon and Gilkey, Susan Nicodemus. Teaching Mathematics in the Block pp. 44, 47, ISBN 1-883001-51-X
  12. ↑ Template:Cite book
  13. ↑ Bouleau, Charles, The Painter's Secret Geometry: A Study of Composition in Art (1963) pp.247-8, Harcourt, Brace & World, ISBN 0-87817-259-9
  14. ↑ SANO, Junichi. Study on the Golden Ratio in the works of Mies van der Rolle : On the Golden Ratio in the plans of House with three Courts and IIT Chapel. Journal of Arch tecture, Planning and Environmental Engineering （Academic Journal ,1993 ） 453,153-158 / ,
  15. ↑ Le Corbusier, The Modulor p. 25, as cited in Padovan, Richard, Proportion: Science, Philosophy, Architecture (1999), p. 316, Taylor and Francis, ISBN 0-419-22780-6
  16. ↑ 16.0 16.1 Le Corbusier, The Modulor, p. 35, as cited in Padovan, Richard, Proportion: Science, Philosophy, Architecture (1999), p. 320. Taylor & Francis. ISBN 0-419-22780-6: "Both the paintings and the architectural designs make use of the golden section".
  17. ↑ Urwin, Simon. Analysing Architecture (2003) pp. 154-5, ISBN 0-415-30685-X

[edit] References

  • Livio, Mario (2002). The Golden Ratio: The Story of Phi, The World's Most Astonishing Number. New York: Broadway Books. ISBN 0-7679-0815-5.
  • Elam, Kimberly. Geometría del Diseño. Estudio en Proporción y Composición. . Trillas, 2003.

[edit] External links

[edit] Redefinición y acuñado de terminología

Si bien como varias fuentes lo han indicado[citation needed] , objetos de estufio, tales como las instrucciones del Arca de Noé o el Arca de la Alianza Template:Ex, no tienen proporción áurea en el sentido mas estricto del término, en definitiva no estan lejos. En realidad la diferencia entre 3:5 y 0.618:5 es perceptualmente insignicante, y cabe recordar que gran parte de la trascendencia de la proporción áurea es la estetica derivada de la relacion dimensional de los elementos en triple correspondencia (la sección menor es a la mayor lo que la mayor al total).

Por otra parte, varios autores [citation needed] niegan el uso de proporción áurea en obras anteriores al renacimiento debido a que el valor exacto del coeficiente, 0.618, nunca se supo hasta antes de que Luca Pacioli lo calculara por primera vez. Sin embargo, hay que tomar en cuenta que en el renacimiento apena se comenzaba a visualizar las dmiensiones como c hace hoy en día, pues anteriormente se carecía de tres herramientas que hoy en día son aparentemente indispensables para el cálculo: los números árabes, el sistema decimal y el sistema métrico.

  • El sistema metrico no fue inventado hasta Template:Ex
  • Los números árabes fueron adoptados por los europeos en Template:Ex
  • El pundo decimal se adoptó en Template:Ex

Es necesario recordar que fue 1.618 fue descubierto, después del radio de oro cuando los números irracionales se descubireron porque antes simplemente no se usaban [citation needed] . Sin embargo su cálculo nunca requirió de una definición numérica. El radio de oro no es mas que la distancia existente entre cualquiera de los puntos medios de los lados de un cuadrado perfecto hasta uno de los dos vértices opuestos. De modo que es una distancia irracional determinable por cualquier persona con noción geométrica básica.

A veces se le llama radio de oro al resultado de proyectar "un radio" que va desde el centro de cualquiera de los lados de un cuadrado perfecto hasta cualquiera de los dos vertices del lado opuesto, hasta alinearse con el lado del origen al lado en el que el radio tiene su origen, para luego medir la recta sesultante, que en realidad sería el radio, mas la otra mitas del cuadrado que no se esta contando. Esto es incorrecto. El dicha recta (el radio mas medio lado), no es el radio de oro, sino la sección áurea. El radio de oro, como su nombre bien lo indica, es un radio, el radio del que se esta hablando desde que desde el momento que los dos puntos se visualizan por primera vez en el cuadrado perfecto. Ver figura:

Por cuestiones de costumbre Template:Fuente, especialmente en paises de habla inglesa, el término radio de oro ha sido usado para referise a lo que se acaba de indicar como la sección áurea y que tiene como coeficiente phi. Sin embargo, el mismo nombre del término y su trazo lo contradicen: se trata de un radio. Esto implca la distancia entre un origen y cualquier punto en la circunferencia. Phi es el radio mas la otra mitad del lado del cuadrado que queda, por lo tanto el radio de oro no es phi, 1.618, la sección áurea.. Al medir las lineas es posible notar que radio de phi es 1.118 veces el lado del cuadrado. (figura) 


r(phi)=L(1.118)

Al exedente del cuadrado perfecto, que tiene como coeficiente 0.618... y representado por phi () se le llamará extensión áurea, y al la suma del lado del cuadrado perfecto mas el exedente, que tiene como coeficiente 1.618... y es representado por phi mayuscula (), se le llamara sección áurea. Al rectangulo que se forma de agregarle extension áurea a dos lados paralelos de un cuadrado perfecto se le llama rectángulo áurico.

(figura)

Cuando el coeficiente de dos dimensiones no es exactamente igual a la constante infinita que es phi, diversos autores despresian la posibilidad de una intención de acercamiento. Sin embargo, hay que tomar en cuenta las siguientes variables:

  • Imperfección e imperfección humana.
  • El conocimiento.
  • Las herramientas de trabajo.
  • Dinámica de trabajo.
  • La serie de Fibonacci.

La proporción áurea es analógicamente un ideal de perfección. Es hacia lo que tiende la série de Fibonacci, no el cociente de cualquierar par secuencial de sus componentes. Es el hombre Vitruviano, la fórmula de perfección en el cuerpo humano, no necesariamente el cuerpo de cualquier humano. Es algo que se busca pero nunca se obtiene en absoluto. Podría decirse que la serie de Fibonacci es a phi, lo que una gama de grises a negro, en la que lo mas deseable es el gris mas obscuro; en este caso, el cociente mas cercano a phi (0.618033988749895...).

Phi es el numero irracional en todo el potencial de la palabra. La extensión de phi, tan infinita y mentalmente inconmensurable com como pi, solo puede ser conceptualizado graficamente al visualizar el cuadrado perfecto, extendido a rectángulo áurico a través del radio de oro (figura). Este ejercicio geométrico, para ser ejecutado en una obra, no solo requiere del conocimiento técnico del ejecutor, sino también de su habilidad manual, la cual por sumple hecho de ser humana, ya es imperfecta.

Por otra parte, al hablar de una obra con proporciones áuricas, también se esta hablando de materiales, métodos y herramientas que se usan para crearla. No es lo mismo un diseño gráfico generado por computadoras (que al ser controladas y programadas por el hombre, no son ajenas a la imperfección), que un dibujo hecho por un artesano egipcio en el año 3000 AC, que no conceptualiza un numero irracional como decimal, que no usa sistema métrico, que propablemente usa su propio cuerpo como unidades de mediad y que trabaja en piedra con un cincel, in martillo, utencilios para marcar y pintar y un cordel. Incluso con herramientas modernas de trabajo, siempre van a esistir variables ajenas a phi: el pixelaje de la pantalla, el grosor de linea impresa, el pulso de un diujante, el grosor del cordel, el grosor de los materiales, el levantamiento de medidas, la concentración del artista, etc.

En arquitectura, el material y su grosor es una variable que afecta mucho lo "áurico" del resultado. Si se usan las medidas del hombre como referencia de proporción (que en primer lugar van a variar de persona a persona que colabore en la construcción), es dificil mantener la proporción aurea tanto en los claros internos como en los externos al mismo tiempo. Por ejemplo, mientras la pirámide de Giza en Egipto tiene proporciones áureas en la volumetría general, el Castillo de Chichén Itzá, las tiene en los claros internos del templo en su cima. Esto se debe a que los muros y losas tienen un grosor implícito que propone un dilema al tener que escoger lograr la proporción áurica desde la percepcion interna del edificio con medidas que se relacionen al usuario, o desde las externas. Mas adelante, a partir de obras como el Partenón y posteriormente la arquitectura gótica, se logra la integración de claros, grosores de materiales, percepcion interna y externa; pero eso no hace el esfuerzo de los trabajos precedentes (o posteriores) que buscaron proporciones áureas menos válidos.

Varias obras han sido descartadas por algunos historiadores debido a que no logran alcanzar phi con la extrema exactitud que hoy en día se podría lograr con nuestros conocimientos y tecnología. Habría que destacar que el objetivo del uso de phi es a final de cuentas, estética, una cracteristica que se aprecia perceptualmente, y por lo tanto no necesita indispensablemente de lo imperceptible.

La proporción áurea es un ideal de belleza tan alcanzable como es la visualizacion de todos los dígitos componentes de phi. Phi es el limite infinito de la infininita serie de Fibonacci. Es hacia lo que losresultados progresivos de la división e cualquiera de estos numeros entre el numero que le precede tiende. Mientras mas elevado sea el valor de estos numeros mas cercano a phi sera el resultado. De modo que la series de Fibonacci es a phi lo que la escala de grises al negro. Es tan raro un negro absoluto como un phi absoluto. Otra manera de verlo: Phi es a la serie de Fibonacci lo que la proporcion divina a los intentos humanos de reproducirla.

Mientras más antiguos los intentos, generalmente los resultados son menos certeros. Sin embargo, otro posible motivo es la perceptibilidad y la administración de obra. Es decir, si tenemos un cuadrado perfecto reticulado en 3 x 3 módulos iguales, al extenderlo ar rectángulo áurico, se puede apreciar como 5 modulos casi alcanza la sección áurea.


Al repetir el ejercicio con un cuadrado de 5 x 5 módulos iguales, se puede apreciar como la sección áurea es casi ocho módulos y ahora con menor separación. Si se hace con otro cuadrado de 8 x 8 módulos iguales, se ve como la medida de 13 modulos casi alcanza phi, de nuevo, con menor separación que el caso anterior. Posteriormente la sección áurea de un cuadrado de 13 casi va a medir 21, 33 casi van a alcanzar phi de 21, phi de 33 casi va a ser 54, y asi periodicamente con mayor acercamiento preciso al valor de phi.

(figura)

A este acercamiento a la sección áurea a través de números racionales, se le llamará Proporción Fibonaccea. A la extensión lograda mediante mediadas racionales, que se le tiene que hacer a dos lados paralelos de un cuadrado perfecto (de medidas racionales), se le llamará extensión Fibonaccea'; y a la secta que incluye la extensión Fibonaccea mas el lado del cuadrado perfecto se le llamará Sección Fibonaccea. De modo que, por ejemplo, las instrucciones del levantamiento frontal del arca de Noe, si bien no guardan proporciones áuricas, si tienden a ellas con una proporción Fibonaccea de 3:5. El cuadrado perfecto tiene 3 x 3 modulos, la extensión Fibonaccea es de 2, y la sección Fibonaccea de 5.


  • Hombre Vitruviano II
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